Показательная функция – свойства, графики, формулы. Самостоятельная работа "показательная функция" Дифференцирование показательной функции

Самостоятельная работа по теме «Показательная функция». Самостоятельная работа содержит 2 варианта по три заданий в каждом. Тексты самостоятельной работы разбиты по трем уровням сложности. Каждая задача варианта соответствует своему уровню сложности. Создана самостоятельная работа в текстовом редакторе Microsoft Word. Для удобства приведены правильные ответы.

Просмотр содержимого документа
«Самостоятельная работа "Показательная функция"»

Республика Беларусь

Государственное учреждение образования «Лицей г. Новополоцка»

Самостоятельная работа по математике, раздел алгебра

Тема: Показательная функция

Подготовила: Коновалёнок

Ольга Владимировна,

учитель математики высшей

Вариант 1

1. Сравните:

1) и

2)
и

а) значение а;

б) область определения;

Вариант 2

1. Сравните:

1) и

2)
и

2. На рисунке изображен график функции, заданной формулой
на множестве D. Укажите для нее:

а) значение а;

б) область определения;

в) множество (область) значений;

г) промежутки возрастании (убывания);

д) координаты точек пересечения графика с осью Оу;

е) значение в точках х1= -1 и х2= 1;

ж) наибольшее и наименьшее значения.

3. Укажите естественную область определения выражения (а1):

Вариант 1

1. 1) ; 2)

y=3 x

Степенная функция

y=x 2

y=x 4

y=x 3

y=x 5

Решить самостоятельно.

Задание. Построить графики функций: y = ; y = ; y = -1

Форма контроля : проверка конспекта и устный опрос.

Самостоятельная работа № 13

Тема 4.3. Логарифмическая функция. Свойства и график.

Самостоятельная работа (2 часа)

· изучить свойства логарифмической функции.

· построение графиков логарифмической функций.

Логарифмическая функция

Функция y= , (х ) называется логарифмической функцией.

Логарифмическая функция y= является обратной по отношению к показательной функции у = (х ) . Поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов (рис. 8).

y=log 2 x

y=log 0,4 x

y=log 4 x

a>1

a<1

Приведем основные свойства логарифмической функции:

1) Область определения: D(y) =R + .

2) Область значений функции: E(y) =R.

3) Логарифм единицы равен нулю, логарифм основания равен единице: =0, =0, .

4) Функция y= , возрастает в промежутке (рис. 8 а). При этом, логарифмы чисел, больших единицы, положительны, а - меньших единицы, отрицательны.

5) Функцияy= , (х , убывают в промежутке . При этом, логарифмы чисел, меньших единицы, положительны, а - больших единицы, отрицательны.

4. Найти область определения функции: y=

Решение. Поскольку логарифмическая функция определена только для положительных чисел, а квадратный корень – для неотрицательных чисел, задача сводится к решению системы неравенств:

Левую часть первого неравенства разложим на множители, а во втором заменим 1 на :

Так как основание логарифма8 >1 , то, согласно свойствам логарифма, переходим к системе: т.е.

Последняя система равносильна неравенству: ,

которое решается методом интервалов (причем x≠3, и x ≠ 1). С помощью рис. 9 получаем ответ:[-1;1) (3;5].

Контрольные вопросы.

1. Дайте определение логарифмической функции.

2. Какие область определения и область значения функции у = log a x?

3. В каком случае функция у = log a x является возрастающей, в каком убывающей?

4. При каких значениях x функции у = log a x принимает положительные значения, при каких отрицательные?

Тест для самопроверки. (Варианты ответов: да нет)

1. Логарифмическая функция у = log a x определена при любом х

2. Функция у = log a x определена при а > 0, а =/= 1, х > 0.

3. Областью определения логарифмической функции является множество действительных чисел.

4. Областью значений логарифмической функции является множество действительных чисел.

5. Логарифмическая функция – четная.

6. Логарифмическая функция – нечетная.

7. Функция у = log a x – возрастающая при а >1.

8. Функция у = log a x при положительном, но меньшем единицы основании, – возрастающая.

9. Логарифмическая функция имеет экстремум в точке (1; 0).

10. График функции у = log a x пересекается с осью ОХ.

11. График логарифмической функции находится в верхней полуплоскости.

12. График логарифмической функции симметричен относительно ОХ.

13. График логарифмической функции пересекает ОХ в точке (1; 0).

14. График логарифмической функции находится в 1 и 4 четвертях.

15. Существует логарифм отрицательного числа.

16. Существует логарифм дробного положительного числа.

17. График логарифмической функции проходит через точку (0; 0).

Самостоятельная работа №14

Приведены справочные данные по показательной функции - основные свойства, графики и формулы. Рассмотрены следующие вопросы: область определения, множество значений, монотонность, обратная функция, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление посредством комплексных чисел.

Содержание

Свойства показательной функции

Показательная функция y = a x , имеет следующие свойства на множестве действительных чисел () :
(1.1) определена и непрерывна, при , для всех ;
(1.2) при a ≠ 1 имеет множество значений ;
(1.3) строго возрастает при , строго убывает при ,
является постоянной при ;
(1.4) при ;
при ;
(1.5) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.8) ;
(1.9) ;
(1.10) ;
(1.11) , .

Другие полезные формулы.
.
Формула преобразования к показательной функции с другим основанием степени:

При b = e , получаем выражение показательной функции через экспоненту:

Частные значения

, , , , .

y = a x при различных значениях основания a .

На рисунке представлены графики показательной функции
y(x) = a x
для четырех значений основания степени : a = 2 , a = 8 , a = 1/2 и a = 1/8 . Видно, что при a > 1 показательная функция монотонно возрастает. Чем больше основание степени a , тем более сильный рост. При 0 < a < 1 показательная функция монотонно убывает. Чем меньше показатель степени a , тем сильнее убывание.

Возрастание, убывание

Показательная функция, при является строго монотонной, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

	y = a x , a > 1	y = a x , 0 < a < 1
Область определения	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Область значений	0 < y < + ∞	0 < y < + ∞
Монотонность	монотонно возрастает	монотонно убывает
Нули, y = 0	нет	нет
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 1	y = 1
	+ ∞	0
	0	+ ∞

Обратная функция

Обратной для показательной функции с основанием степени a является логарифм по основанию a .

Если , то
.
Если , то
.

Дифференцирование показательной функции

Для дифференцирования показательной функции, ее основание нужно привести к числу e , применить таблицу производных и правило дифференцирования сложной функции.

Для этого нужно использовать свойство логарифмов
и формулу из таблицы производных :
.

Пусть задана показательная функция:
.
Приводим ее к основанию e :

Применим правило дифференцирования сложной функции . Для этого вводим переменную

Тогда

Из таблице производных имеем (заменим переменную x на z ):
.
Поскольку - это постоянная, то производная z по x равна
.
По правилу дифференцирования сложной функции:
.

Производная показательной функции

.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Пример дифференцирования показательной функции

Найти производную функции
y = 3 5 x

Решение

Выразим основание показательной функции через число e .
3 = e ln 3
Тогда
.
Вводим переменную
.
Тогда

Из таблицы производных находим:
.
Поскольку 5ln 3 - это постоянная, то производная z по x равна:
.
По правилу дифференцирования сложной функции имеем:
.

Ответ

Интеграл

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексного числа z :
f(z) = a z
где z = x + iy ; i 2 = - 1 .
Выразим комплексную постоянную a через модуль r и аргумент φ :
a = r e i φ
Тогда

.
Аргумент φ определен не однозначно. В общем виде
φ = φ 0 + 2 πn ,
где n - целое. Поэтому функция f(z) также не однозначна. Часто рассматривают ее главное значение
.

Свойства показательной функции		y = , 0< a < 1
1. Область определения функции
2. Область значений функции
3. Промежутки сравнения с единицей	при x > 0, > 1	при x > 0, 0< < 1
при x < 0, 0< < 1	при x < 0, > 1
4. Чётность, нечётность.	Функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида).
5. Монотонность.	монотонно возрастает на R	монотонно убывает на R
6. Экстремумы.	Показательная функция экстремумов не имеет.
7. Асимптота	Ось Ox является горизонтальной асимптотой.
8. При любых действительных значениях x и y;

Примеры:

Пример № 1. (Для нахождения области определения функции). Какие значения аргумента являются допустимыми для функций:

Пример № 2. (Для нахождения области значений функции). На рисунке изображен график функции. Укажите область определения и область значений функции:

Пример № 3. (Для указания промежутков сравнения с единицей). Каждую из следующих степеней сравните с единицей:

Пример № 4. (Для исследования функции на монотонность). Сравнить по величине действительные числа m и n если:

Пример № 5. (Для исследования функции на монотонность). Сделайте заключение относительно основания a, если:

y(x) = 10x; f(x) = 6x; z(x) - 4x

Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?

Таблица. Вывод:

В одной координатной плоскости построены графики функций:

y(x) = (0,1)x; f(x) = (0,5)x; z(x) = (0,8)x.

Как располагаются графики показательных функций относительно друг друга при x > 0, x = 0, x < 0?

Заключение

В данной курсовой работе по теме «Показательная функция» мною были рассмотрены ее понятие, основные свойства и графики.

Тема показательной функции, в общем, является одной из часто используемых в вычислениях и решении различных задач.

В работе были приведены примеры и задания, разные по сложности и по содержанию.

Курсовая работа, по моему мнению, выполнена в рамках методики преподавания математики и может быть использована как наглядное пособие для студентов дневного и заочного отделений.

10 класс" width="271" height="129 src="/>

Самостоятельная работа по теме «Решение уравнений и систем уравнений (повторение).»

Вариант 1.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image006_16.gif" width="99" height="24 src=">.gif" width="179" height="44 src=">.gif" width="99" height="51 src=">

Самостоятельная работа по теме «Решение неравенств». Повторение.

Вариант 1.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image012_10.gif" width="64" height="27 src=">.gif" width="100" height="41 src=">.gif" width="72" height="27 src=">.gif" width="52" height="41 src=">.gif" width="189" height="24 src=">.

Вариант 1.

Дана функция https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="171" height="51 src=">

а) Найдите https://pandia.ru/text/78/476/images/image023_5.gif" width="43" height="20 src=">.gif" width="68" height="32 src=">.

Самостоятельная работа по теме «Функция». Повторение.

Вариант 3.

Дана функция https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="43" height="20 src=">.gif" width="156" height="51 src=">

а) Найдите https://pandia.ru/text/78/476/images/image023_5.gif" width="43" height="20 src=">.gif" width="68" height="32 src=">.

б) Постройте график данной функции.

в) Укажите для данной функции D(y), E(y), промежутки возрастания и убывания.

Самостоятельная работа по теме «Функция». Повторение.

Вариант 5.

Дана функция https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="43" height="20 src=">, DIV_ADBLOCK535">

Самостоятельная работа по теме «Функция». Повторение.

Вариант 6.

Дана функция https://pandia.ru/text/78/476/images/image022_7.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="33" height="20 src=">.gif" width="131" height="24">.

2. Найдите область определения функции https://pandia.ru/text/78/476/images/image035_4.gif" width="89 height=53" height="53">

4. Решить совокупность неравенств:

Дополнительное задание. Решить систему уравнений:

VII - IX классов»

Вариант 2.

1. Решите уравнение .

2. Найдите область определения функции https://pandia.ru/text/78/476/images/image040_3.gif" width="91 height=53" height="53">

4. Решить систему неравенств:

Дополнительное задание. Решить систему уравнений:

Контрольная работа по теме «Повторение материала курса алгебры VII - IX классов»

Вариант 3.

1. Решите уравнение .

2. Найдите область определения функции https://pandia.ru/text/78/476/images/image044_3.gif" width="89" height="75">

4. Решить совокупность неравенств: https://pandia.ru/text/78/476/images/image037_4.gif" width="137 height=48" height="48">

Контрольная работа по теме «Повторение материала курса алгебры VII - IX классов»

Вариант 4.

1. Решите уравнение .

2. Найдите область определения функции https://pandia.ru/text/78/476/images/image048_3.gif" width="108" height="56">

4. Решить систему неравенств:

Дополнительное задание. Решить систему уравнений:

Вариант 1.

1. Сравнить числа: а) и ; б) и ; в) и https://pandia.ru/text/78/476/images/image056_2.gif" width="48" height="24 src=">.gif" width="107" height="43 src=">.

Самостоятельная работа по теме «Показательная функция»

Вариант 2.

1. Сравнить числа: а) и ; б) и ; в) и https://pandia.ru/text/78/476/images/image068_2.gif" width="65" height="49 src=">.gif" width="107" height="43 src=">.

3. Построить графики функций: а); б); в).

Самостоятельная работа по теме «Показательные уравнения»

Вариант 1.

Решить уравнения:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image075_2.gif" width="136" height="24 src=">.gif" width="147" height="33 src=">.gif" width="161" height="24 src="> .

Самостоятельная работа по теме «Показательные неравенства»

Вариант 1.

Решить неравенства:

1) https://pandia.ru/text/78/476/images/image081_2.gif" width="144" height="21 src=">.gif" width="61" height="48 src=">.gif" width="88" height="28 src=">.

Вариант 1.

1. Построить график функции .

2. Решить уравнения: а), б).

3. Решить неравенства: а); б) .

4. Решить систему уравнений:

Контрольная работа по теме «Показательная функция»

Вариант 2.

1. Построить график функции .

2. Решить уравнения: а), б).

3. Решить неравенства: а); б) .

4. Решить систему уравнений:

Вариант 1.

1. Вычислите: а); б); в); г).

2..gif" width="147" height="24 src=">.

Самостоятельная работа по теме «Понятие логарифма»

Вариант 2.

1. Вычислите: а); б); в); г).

2..gif" width="161" height="27 src=">.

Вариант 1.

2..gif" width="87" height="44 src=">.

Самостоятельная работа по теме «Основные свойства логарифма»

Вариант 2.

1. Найти , если известно, что .

2..gif" width="113" height="45 src=">.

Самостоятельная работа по теме «Логарифмическая функция»

Вариант 1.

Найдите область определения каждой из функций:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image118_0.gif" width="97" height="27 src=">.gif" width="147" height="28 src=">.gif" width="192" height="31 src=">.

Вариант 1.

Построить график функции:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image124_0.gif" width="81" height="27 src=">.gif" width="75" height="27 src=">.

Самостоятельная работа по теме «График логарифмической функции»

Вариант 2.

Построить график функции:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image128_0.gif" width="99" height="28 src=">.gif" width="81" height="29 src=">.

Вариант 1.

Самостоятельная работа по теме «Обратная функция»

Вариант 2.

а) Найдите функцию, обратную данной,

б) Укажите область определения и область значений обратной функции,

в) Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат.

Самостоятельная работа по теме «Обратная функция»

Вариант 3.

а) Найдите функцию, обратную данной,

б) Укажите область определения и область значений обратной функции,

в) Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат.

Самостоятельная работа по теме «Обратная функция»

Вариант 4.

а) Найдите функцию, обратную данной,

б) Укажите область определения и область значений обратной функции,

в) Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат.

Вариант 1.

1. Вычислить: а); б) ; в); г); д); е).

2. Найти х , если .

3..gif" width="93" height="27">.

Контрольная работа по теме: «Логарифм».

Вариант 2.

1. Вычислить: а); б) ; в); г); д); е).

2. Найти х , если .

3..gif" width="91" height="27">.

5. Найти функцию, обратную к функции , . Указать область определения и область значений обратной функции.

Вариант 1.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image168_0.gif" width="117" height="24 src=">.gif" width="131" height="48 src=">.

Самостоятельная работа по теме «Логарифмические уравнения»

Вариант 2.

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image172_0.gif" width="125" height="41 src=">.gif" width="133" height="40 src=">.

Вариант 1.

1), 2), 3),

4)https://pandia.ru/text/78/476/images/image179_0.gif" width="93 height=20" height="20">.

Самостоятельная работа по теме «Логарифмические неравенства»

Вариант 2.

4)https://pandia.ru/text/78/476/images/image184.gif" width="92 height=20" height="20">.

Контрольная работа по теме «логарифмические уравнения и неравенства»

Вариант 1.

1. Решите уравнения: а); б); в).

2. Решить систему уравнений:

3. Решить неравенства: а); б).

4..gif" width="159" height="29">; б); в).

2. Решить систему уравнений:

3. Решить неравенства: а); б).

4..gif" width="25" height="41 src=">.gif" width="77" height="41">; б).

4..gif" width="109" height="21 src=">..gif" width="36" height="19 src=">.

Вариант 2.

1. Выразите в радианной мере величины углов 560; 1700.

2..gif" width="37" height="41 src=">.

3. Укажите знак числа: а); б).

4..gif" width="100" height="21 src=">..gif" width="29" height="19 src=">.

Самостоятельная работа по теме «Основы тригонометрии»

Вариант 3.

1. Выразите в радианной мере величины углов 720; 1400.

2..gif" width="36" height="41 src=">.

3. Укажите знак числа: а); б).

4..gif" width="29" height="19 src=">, если известно, что и https://pandia.ru/text/78/476/images/image221.gif" width="27" height="41 src=">.gif" width="123" height="48">; б).

4..gif" width="36" height="19 src=">, если известно, что и https://pandia.ru/text/78/476/images/image226.gif" width="497" height="24">.

2. Упростите выражение: .

3..gif" width="527" height="24">.

2. Упростите выражение: .

3..gif" width="497" height="24">.

2. Упростите выражение: .

3..gif" width="527" height="24">.

2. Упростите выражение: .

3..gif" width="192" height="24">.

2. Докажите тождество: .

Вариант 2.

1. Вычислите: .

2. Докажите тождество:.

3. Преобразуйте в произведение:.

Самостоятельная работа по теме «Сумма и разность тригонометрических функций»

Вариант 3.

1. Вычислите: .

2. Докажите тождество: .

3. Преобразуйте в произведение: .

Самостоятельная работа по теме «Сумма и разность тригонометрических функций»

Вариант 4.

1. Вычислите:.

2. Докажите тождество:.

3. Преобразуйте в произведение: .

Вариант 1.

1. Упростите выражение: .

2. Вычислите .

3. Вычислите .

4. Вычислите .

5. Преобразуйте в произведение https://pandia.ru/text/78/476/images/image255.gif" width="109" height="17 src=">..gif" width="16 height=13" height="13">.

2. Начертите график функции .

Контрольная работа по теме «Тригонометрические преобразования»

Вариант 2.

1. Упростите выражение: .

2. Упростите выражение: .

3. Вычислить .

4. Вычислите .

5. Преобразовать в произведение .

Необязательное задание.

1..gif" width="43" height="17 src=">и наименьшее значение .

2. Начертите график функции .

Контрольная работа по теме «Тригонометрические преобразования»

Вариант 3.

1. Вычислите .

2. Вычислите .

3. Вычислите .

4. Вычислите .

5. Преобразовать в произведение .

Необязательное задание .

1..gif" width="43" height="17 src=">и наибольшее значение .

2. Начертите график функции .

Контрольная работа по теме «Тригонометрические преобразования»

Вариант 4.

1. Вычислите .

2. Упростите выражение: https://pandia.ru/text/78/476/images/image274.gif" width="280" height="47">.

4. Вычислите .

5. Преобразовать в произведение: .

Необязательное задание.

1..gif" width="43" height="17 src=">и наименьшее значение .

2. Начертите график функции .

Вариант 1.

Решить уравнения:

1)https://pandia.ru/text/78/476/images/image278.gif" width="153" height="21 src=">.gif" width="109" height="45 src=">.gif" width="284" height="48 src=">

Самостоятельная работа по теме «Уравнение cosx=a»

Вариант 3.

Решить уравнения: , периодическая с главным периодом 6. При этом, принадлежащие промежутку

5. Запишите все решения уравнения , принадлежащие промежутку .